Integral of dx/x(x^2+1) \[ \int\:\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\right)} \]

-
Page title এই সমাকলনটি ২০২২ (2022) উচ্চমাধ্যমিক গণিত পরীক্ষায় এসেছিল। এছাড়া এটি আগামী বছরগুলির জন্য ভীষণ গুরুত্বপূর্ণ। এখানে step by step সমাকলনটির সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হল।

Scroll from left to right if you are using a smartphone

\[\:\:\:\: \int\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)} \\ =\:\int\:\frac{\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) −\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\int\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}}−\int\frac{\boldsymbol{{x}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\boldsymbol{{x}}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\boldsymbol{{x}}\mid −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int \frac{\frac{\boldsymbol{{d}}}{\boldsymbol{{dx}}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\boldsymbol{{x}}\mid −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \int \frac{\boldsymbol{{d}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} + \mathrm{1}\right)}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} + \mathrm{1}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\boldsymbol{{x}}\mid −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}} \mid\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mid \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\frac{\boldsymbol{{x}}}{\sqrt{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\mid + \boldsymbol{{c}} \]

Comments

Post a Comment

Comment how it made you..

Popular posts from this blog

শ্রীধর আচার্যের সূত্র এবং প্রয়োগ।

-
Image
শ্রীধর আচার্য্যের সূত্র দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করতে এর আগে মধ্যপদ ভেঙে চলরাশির মান বের করা হত। পরবর্তীকালে দেখা গেল যে অনেকক্ষেত্রে মধ্যপদকে সরল গুনিতকে ভাঙা সম্ভব হচ্ছে না বরং সমস্যা হচ্ছে। যেমন- যদি বলি যে x 2 +x+1 = 0 সমীকরণে x এর মান কী কী? দেখা যাচ্ছে যে x এর সহগ 1 কে সরল গুনিতকে ভেঙে প্রকাশ করা যাচ্ছে না। এখানে এই সমীকরণে যে সূত্রের সাহায্যে x এর মান বের করা যাবে সেটি হল শ্রীধর আচার্য্যের সূত্র। বলা বাহুল্য যে এই সূত্রের সাহায্যে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের চলরাশির মান পাওয়া সম্ভব। দ্বিঘাত সমীকরণের প্রমাণ বা আন্তর্জাতিক (standard) গঠনটি (form) হল ax 2 +bx+c = 0 যেখানে a, b, c হল ধ্রূবক এবং a এর মান কখনোই শূণ্য নয় কারণ শূণ্য হলে দ্বিঘাত পদটি থাকত না কাজেই সমীকরণটিকে দ্বিঘাত বলা যেত না। ভারতীয় গণীতবিদ শ্রীধর আচার্য্য এই প্রমাণ গঠনটিকে বিভিন্ন কয়েকটি পদ্ধতিতে রূপান্তরিত করে x এর মান পেয়ে গিয়েছিলেন বর্তমানে যেটি সর্বক্ষেত্রে, সর্বজনে গ্রাহ্য। নীচে সমীকরণটির সমাধান দেওয়া হল। শ্রীধর আচার্য্যের সূত্রের প্রদর্শন Download Image উপরের সমীকরণে দ্বিতীয় পর্যায়ে 4a ...
Read more

ঘর্ষণ - class 11 - পদার্থবিদ্যা(physics)

-
Image
ঘর্ষণ ঘর্ষণ কী? সঠিক ধারণা ঘর্ষণ সম্পর্কে আমরা প্রকৃতঅর্থ না জানলেও অন্তত ব্যাবহারিক অভিজ্ঞতা থেকে কিছুটা বুঝতে পারি। আসলে ঘর্ষণ হল সাধারনত যেকোনো বস্তু বা পদার্থের সঙ্গে অন্য কোনো বস্তু সংস্পর্শে থাকলে সেই তলে ক্রিয়াশীল একটি বল সাধারনত যা আমাদের অর্থাত বাইরে থেকে প্রযুক্ত বলের বিরুদ্ধে কাজ করে বস্তুটিকে তার নিজের জায়গাতেই রাখার চেষ্টা করে। এখন আমরা সকলেই জানি যে প্রতিটি ক্রিয়ার একটি সমান এবং বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে যেটা হল নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্র । অতএব বলা যায় যে ঘর্ষন হল একটি বিপরীত প্রতিক্রিয়া এবং একটি বল। একে বল বলা হচ্ছে তার কারন আমরা বলের সংজ্ঞা থেকে পেয়েছি : যা প্রয়োগ করে কোনো বস্তুকে গতিশীল বা স্থির করা হয় বা কেবলই চেষ্টা করা হয় তাকে বল বলে। অতএব এই সংজ্ঞা থেকে বোঝা যাচ্ছে যে নিশ্চয় ঘর্ষন হল একপ্রকার বল যার দরুন বস্তুটি স্থির থাকছে। ঘর্ষন বল থাকে কেন? আসলে কোনো বস্তুকে কোনো তলের সংস্পর্শে রাখলেই সেখানে ঘর্ষন থাকবে। কারণ হল, বস্তুর কণাগুলি এবং যে তলে রাখা হয়েছে তার কনা গুলির মধ্যে আকর্ষন বল [ যাকে বলা হয় আসঞ্জন বল (Adhesive For...
Read more

গতিবিদ্যা সংক্রান্ত প্রশ্ন ও উত্তর

-
1. কোনো বস্তুর ত্বরণ আছে অথচ বেগ নেই। কী করে সম্ভব? হ্যাঁ, কথাটি সত্য এবং সম্ভব। সাধারনভাবেই প্রশ্ন উঠতে পারে যে ত্বরণ থাকলে বেগ থাকতেই হবে তা না হলে ত্বরণ থাকার কোনো মানেই হয় না। আদতে এটা ঠিক নয়, ত্বরণ থাকলে যে বেগ থাকতেই হবে তা সবক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। কারণ, যেহেতু বস্তুটি স্থির আছে তার ওপর সবসময়, প্রতিমুহূর্তে পৃথিবীর অভিকর্ষ বল কাজ করছে ফলে বস্তুটির ওপর অভিকর্ষজ ত্বরণ সবসময় রয়েছে। কিন্তু কেবল বাধাঁর জন্য বস্তুটিতে গতির সৃষ্টি হয়নি। সুতরাং এখান থেকে এটা স্পষ্ট যে কোনো বস্তুর ত্বরণ থাকলেও বেগ নাও থাকতে পারে। 2. ত্বরণ পরিবর্তনের হারের একক এবং মাত্রা কী? ত্বরণ পরিবর্তনের হার বলতে নির্দিষ্ট সময়ে কি পরিমান ত্বরণ বাড়ল বা কমল। অতএব প্রতি একক সময়ে ত্বরণের যে পার্থক্য তা হল ত্বরণ পরিবর্তনের হার। অন্তিম ত্বরণ থেকে প্রাথমিক ত্বরণ বিয়োগ করে বিয়োগফলকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায় তা হল ত্বরণ পরিবর্তনের হার। এর একক হল : ms -3 । অতএব এর মাত্রাও আমরা পেতে পারি : [LT  -3 ] । 3. বক্রপথে গতিশীল কোনো কণার বেগ কত? প্রশ্নটা আশ্চর্য মনে হতে পারে। কারণ এখানে কোনো তথ্যই দেওয়া নেই যা থেকে...
Read more