Posts

Integral of dx/x(x^2+1) \[ \int\:\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\right)} \]

-
Page title এই সমাকলনটি ২০২২ (2022) উচ্চমাধ্যমিক গণিত পরীক্ষায় এসেছিল। এছাড়া এটি আগামী বছরগুলির জন্য ভীষণ গুরুত্বপূর্ণ। এখানে step by step সমাকলনটির সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হল। Scroll from left to right if you are using a smartphone \[\:\:\:\: \int\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)} \\ =\:\int\:\frac{\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) −\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }{\boldsymbol{{x}}\left(\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\int\:\frac{\boldsymbol{{dx}}}{\boldsymbol{{x}}}−\int\frac{\boldsymbol{{x}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\mid\boldsymbol{{x}}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}} \\ =\:\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\bold...
Post a Comment
Read more

হাইড্রোজেনের তথ্য (Informations of Hydrogen in Chemistry)

-
  হাইড্রোজেন   হাইড্রোজেন পর্যায়সারণীর সর্বপ্রথম মৌল এবং এর অবস্থান হল : পর্যায়- 1 ও শ্রেণী- 1 বা IA । এর পারমানবিকভর - 1.008 বা 1 । এর পরমানু ক্রমাঙ্ক 1 ।  হাইড্রোজেন এর তিনটি আইসোটোপ- প্রটিয়াম, ডয়টেরিয়াম, ট্রিটিয়াম।  পরিচিত যৌগ : HCl (Hydrogen Chloride) : অ্যাসিড। সাধারণ অবস্থায় গ্যাসীয়। H 2 O (Water - জল) H 2 SO 4 (Sulphuric Acid) H 3 PO 4 (Phosphoric Acid) H 2 O 2 (Hydrogen Per-Oxide) HF (Hydrogen Fluoride) অ্যাসিড চিহ্নিতকরণ: কোনো যৌগ অ্যাসিড কিনা অর্থাত এদের pH 0 থেকে 7 এর মধ্যে কিনা তা জানার জন্য যৌগটিতে H + আয়ন আছে কিনা তা নির্ধারণ করা হয়। এবং জলীয় দ্রবণে যৌগ গুলি H 3 O + দেয় কিনা তা দেখা হয়। ক্ষারগ্রাহিতা নির্ধারণে H এর ভূমিকা: কোনো অ্যাসিডের ক্ষারগ্রাহিতা নির্ধারণ করা হয় যৌগটিতে কতগুলি প্রতিস্থাপন যোগ্য H পরমানু আছে।  হাইড্রোজেন বন্ধন গঠন: রসায়নে হাইড্রোজেন বন্ধন H পরমানু ছাড়া সম্ভব নয়। এই বন্ধনের জন্য অনেক যৌগ সংগুনিত অবস্থায় থাকে। যেমন একটি জলের অনুর অক্সিজেনের সাথে অন্য একটি জলের অন্য হাইড্রোজেন, হাইড্রোজেন বন্ধন করে। এইভাবে বহুসংখ্য...
Post a Comment
Read more

ইংরেজী বলতে শেখার সহজ উপায়। Some easy steps to learn Speaking in English Quickly.

-
কীভাবে English সহজে বলা যায়? ইংরেজী শেখা কেন দরকার? (Why is English Important to learn?) English বা ইংরেজী শেখাটা বর্তমানে ভীষণ গুরুত্বপূর্ণ হয়ে দাঁড়িয়েছে। ভবিষ্যতে কোনো চাকরি করতে গেলে এই ভাষাটার দরকার এখন বেশি। আমরা সকলেই জানি যে ইংরেজী হল আন্তর্জাতিক ভাষা। মানেটা হল এমন যে যদি কখনো কোনো এমন লোকের সাথে দেখা হয় যার ভাষা একেবারেই বোধগম্য হচ্ছে না তখন যার সাহায্যে তাদের মধ্যে কথাবার্তা(Interaction) হতে পারে সে হল ইংরেজী ভাষা। এই ভাষা যেমন তোমাকেও জানতে হবে ঠিক তেমনই তাকেও জানতে হবে। বাড়িতে যারা বিভিন্ন অফিসে কাজ করেন তারা সকল কাজ গুলি ইংরেজীতেই করে। আমাদের দেশে ইংরেজী ভাষা কে Official ভাষা বলা হয়। এই ভাষা প্রশাসনিক, অর্থনৈতিক, সব ক্ষেত্রেই ব্যবহার করা হয়। বহু আন্তর্জাতিক ব্যাবসায়িক সংস্থা, তথ্যপ্রযুক্তি শিল্পের নামি দামী কোম্পানী যেমন - TATA, IBM, WIPRO, TCS, SAP এরা সবকাজ কিন্তু ইংরেজী তেই করে থাকে। কারণ, আগেই বললাম যে ইংরেজী হল আন্তর্জাতিক ভাষা। অর্থাত দেশের বাইরে ব্যবসা করতে গেলে ইংরেজীর দক্ষতা থাকা চাই। আর সেই সকল নামী দামি কোম্পানীর সদস্য পদ পেতে হলে ইংরেজ...
Post a Comment
Read more

ঘর্ষণ - class 11 - পদার্থবিদ্যা(physics)

-
Image
ঘর্ষণ ঘর্ষণ কী? সঠিক ধারণা ঘর্ষণ সম্পর্কে আমরা প্রকৃতঅর্থ না জানলেও অন্তত ব্যাবহারিক অভিজ্ঞতা থেকে কিছুটা বুঝতে পারি। আসলে ঘর্ষণ হল সাধারনত যেকোনো বস্তু বা পদার্থের সঙ্গে অন্য কোনো বস্তু সংস্পর্শে থাকলে সেই তলে ক্রিয়াশীল একটি বল সাধারনত যা আমাদের অর্থাত বাইরে থেকে প্রযুক্ত বলের বিরুদ্ধে কাজ করে বস্তুটিকে তার নিজের জায়গাতেই রাখার চেষ্টা করে। এখন আমরা সকলেই জানি যে প্রতিটি ক্রিয়ার একটি সমান এবং বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে যেটা হল নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্র । অতএব বলা যায় যে ঘর্ষন হল একটি বিপরীত প্রতিক্রিয়া এবং একটি বল। একে বল বলা হচ্ছে তার কারন আমরা বলের সংজ্ঞা থেকে পেয়েছি : যা প্রয়োগ করে কোনো বস্তুকে গতিশীল বা স্থির করা হয় বা কেবলই চেষ্টা করা হয় তাকে বল বলে। অতএব এই সংজ্ঞা থেকে বোঝা যাচ্ছে যে নিশ্চয় ঘর্ষন হল একপ্রকার বল যার দরুন বস্তুটি স্থির থাকছে। ঘর্ষন বল থাকে কেন? আসলে কোনো বস্তুকে কোনো তলের সংস্পর্শে রাখলেই সেখানে ঘর্ষন থাকবে। কারণ হল, বস্তুর কণাগুলি এবং যে তলে রাখা হয়েছে তার কনা গুলির মধ্যে আকর্ষন বল [ যাকে বলা হয় আসঞ্জন বল (Adhesive For...
Post a Comment
Read more

শ্রীধর আচার্যের সূত্র এবং প্রয়োগ।

-
Image
শ্রীধর আচার্য্যের সূত্র দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করতে এর আগে মধ্যপদ ভেঙে চলরাশির মান বের করা হত। পরবর্তীকালে দেখা গেল যে অনেকক্ষেত্রে মধ্যপদকে সরল গুনিতকে ভাঙা সম্ভব হচ্ছে না বরং সমস্যা হচ্ছে। যেমন- যদি বলি যে x 2 +x+1 = 0 সমীকরণে x এর মান কী কী? দেখা যাচ্ছে যে x এর সহগ 1 কে সরল গুনিতকে ভেঙে প্রকাশ করা যাচ্ছে না। এখানে এই সমীকরণে যে সূত্রের সাহায্যে x এর মান বের করা যাবে সেটি হল শ্রীধর আচার্য্যের সূত্র। বলা বাহুল্য যে এই সূত্রের সাহায্যে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের চলরাশির মান পাওয়া সম্ভব। দ্বিঘাত সমীকরণের প্রমাণ বা আন্তর্জাতিক (standard) গঠনটি (form) হল ax 2 +bx+c = 0 যেখানে a, b, c হল ধ্রূবক এবং a এর মান কখনোই শূণ্য নয় কারণ শূণ্য হলে দ্বিঘাত পদটি থাকত না কাজেই সমীকরণটিকে দ্বিঘাত বলা যেত না। ভারতীয় গণীতবিদ শ্রীধর আচার্য্য এই প্রমাণ গঠনটিকে বিভিন্ন কয়েকটি পদ্ধতিতে রূপান্তরিত করে x এর মান পেয়ে গিয়েছিলেন বর্তমানে যেটি সর্বক্ষেত্রে, সর্বজনে গ্রাহ্য। নীচে সমীকরণটির সমাধান দেওয়া হল। শ্রীধর আচার্য্যের সূত্রের প্রদর্শন Download Image উপরের সমীকরণে দ্বিতীয় পর্যায়ে 4a ...
Post a Comment
Read more

গতিবিদ্যা সংক্রান্ত প্রশ্ন ও উত্তর

-
1. কোনো বস্তুর ত্বরণ আছে অথচ বেগ নেই। কী করে সম্ভব? হ্যাঁ, কথাটি সত্য এবং সম্ভব। সাধারনভাবেই প্রশ্ন উঠতে পারে যে ত্বরণ থাকলে বেগ থাকতেই হবে তা না হলে ত্বরণ থাকার কোনো মানেই হয় না। আদতে এটা ঠিক নয়, ত্বরণ থাকলে যে বেগ থাকতেই হবে তা সবক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। কারণ, যেহেতু বস্তুটি স্থির আছে তার ওপর সবসময়, প্রতিমুহূর্তে পৃথিবীর অভিকর্ষ বল কাজ করছে ফলে বস্তুটির ওপর অভিকর্ষজ ত্বরণ সবসময় রয়েছে। কিন্তু কেবল বাধাঁর জন্য বস্তুটিতে গতির সৃষ্টি হয়নি। সুতরাং এখান থেকে এটা স্পষ্ট যে কোনো বস্তুর ত্বরণ থাকলেও বেগ নাও থাকতে পারে। 2. ত্বরণ পরিবর্তনের হারের একক এবং মাত্রা কী? ত্বরণ পরিবর্তনের হার বলতে নির্দিষ্ট সময়ে কি পরিমান ত্বরণ বাড়ল বা কমল। অতএব প্রতি একক সময়ে ত্বরণের যে পার্থক্য তা হল ত্বরণ পরিবর্তনের হার। অন্তিম ত্বরণ থেকে প্রাথমিক ত্বরণ বিয়োগ করে বিয়োগফলকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায় তা হল ত্বরণ পরিবর্তনের হার। এর একক হল : ms -3 । অতএব এর মাত্রাও আমরা পেতে পারি : [LT  -3 ] । 3. বক্রপথে গতিশীল কোনো কণার বেগ কত? প্রশ্নটা আশ্চর্য মনে হতে পারে। কারণ এখানে কোনো তথ্যই দেওয়া নেই যা থেকে...
Post a Comment
Read more

ভৌতরাশির ধারণা-Concept of Physical Quantities-Class IX-Physical Science

-
ভৌত রাশি যেসকল রাশি আমরা পরিমাপ করতে পারি, তাদেরকে ভৌত রাশি বলে। অর্থাত ভৌতরাশি তাদেরকেই বলা হবে যাদের আমরা মাপকাঠি করতে পেরেছি এবং নির্দিষ্ট কতকগুলি পদ্ধতিতে(একক) তাদের প্রকাশ করতে পারি। উদাহরণ স্বরূপ বলা যেতে পারে যে কে বেশি বুদ্ধিমান, এই প্রশ্নের কোনো উত্তর আমরা দিতে পারব না। কারণ এই রাশির কোনো নির্দিষ্ট পরিমাপ পদ্ধতি নেই। সুতরাং স্বাভাবিক ভাবেই এই রাশিকে ভৌতরাশি বলা যাবে না। ভৌতবিজ্ঞানে ভৌতরাশির অপরিহার্য ব্যবহার আছে। বরং বলা উচিত ভৌত রাশি ছাড়া ভৌতবিজ্ঞানের কোনো অস্তিত্ব নেই। সাধারণত প্রত্যেকটি ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট একক আমরা আমাদের সুবিধার্থে ধরে নিয়েছি। SI ও CGS পদ্ধতিতে একক আমরা বর্তমানে বেশি ব্যবহার করি। আমাদের পরিচিত কয়েকটি ভৌত রাশি হল- ভর, দৈর্ঘ, সময়, ওজন, কার্য, শক্তি ইত্যাদি। পদার্থবিদ্যায় ভৌতরাশির দুটি প্রকারভেদ আছে। এই প্রকারভেদ গাণিতিক ও ব্যবহারিক ক্ষেত্রে সুবিধার জন্য তৈরী। এই দু-প্রকার ভৌত রাশি হল- 1) স্কেলার রাশি 2) ভেক্টর রাশি স্কেলার রাশি যেসকল ভৌতরাশিকে আমরা যেমন পরিমাপ করতে পারি, অর্থাত যাদের মান আছে কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই তাদের স্কেলা...
2 comments
Read more